Luận án Về một thuật toán sinh số giả ngẫu nhiên dựa trên phương pháp tạo dãy phi tuyến lồng ghép với bậc lớn

Nội dung text: Luận án Về một thuật toán sinh số giả ngẫu nhiên dựa trên phương pháp tạo dãy phi tuyến lồng ghép với bậc lớn

1. 67 khi quan hệ truy hồi (2.1) đúng cho dãy n-phần tử s1, s2, sn nhưng không đúng với dãy (n+1) phần tử s1, s2, sn, sn+1 và với điều kiện là: 2.Ln(s) n. (3.10) Lập luận trên sẽ được sử dụng trong bài toán ta sẽ xét sau đây. Với các khái niệm đã nêu, ta ký hiệu: D(n, ) = Card{ s = (s1, s2, , sn-1, sn) n : Ln(s) = }. Ta sẽ tìm công thức cho hàm phân bố D(n, ), với n N, và 0  n. Định lý 3.9. (F. G. Gustavson [26]) Hàm phân bố D(n, ), n N, 0  n, được cho bởi công thức sau 1,  0; 2 1 D(n, ) q .q*,  1, , n ; (3.11) 2(n ) q .q*,  n 1, , n. trong đó, q* = q - 1, và n là phần nguyên (dưới) của (n/2). Hệ quả 3.10. Giá trị trung bình độ phức tạp tuyến tính của dãy hữu hạn n-phần tử lấy ngẫu nhiên đều trên không gian [GF(q)]n được đánh giá bởi công thức: n/2 E(n) < (n+1)/2, n=1, 2, (3.12) trong đó n E(n) = (1/qn). .D(n;) . (3.13)  0
2. 69 k M P{ wt() = k, 0 k M} = CM / 2 . (3.14) Dưới dạng bảng ta có: wt() 0, 1, , k , , M-1, M M M k M M M P(wt()) 1/2 , M/2 CM / 2 , , M/2 , 1/2 . Nhận xét: a) Từ (3.14) ta thấy biến ngẫu nhiên wt(), khi  lấy ngẫu nhiên đều trên không gian M, có phân bố đối xứng qua kỳ vọng của nó. Do đó nếu ta xét các p p mômen trung tâm cấp p tương ứng Wc , ta sẽ có Wc = 0, với p-lẻ. Ngoài ra Wainberg và Wolf cũng đã chỉ ra rằng: 2 4 2 6 3 2 Wc = M/4; Wc = (3M - 2M)/16; Wc = (15M - 30M + 16M)/64; p Wc = 0, với p-lẻ. (3.15) Đây là những mômen quan trọng đầu tiên để ta làm căn cứ nhận định về phân bố giá trị tương quan địa phương đối với những nguồn giả ngẫu nhiên. b) Khi nghiên cứu tương quan địa phương của một dãy nào đó, nếu ta chuyển sang việc khảo sát phân bố trọng số của các đoạn con độ dài M tương ứng trong một dãy đã biết, khi đó có thể dùng các công thức trong (3.14) để so sánh hai phân bố, trên cơ sở đó có thể kết luận sơ bộ về tính ngẫu nhiên địa phương trong phạm vi M của dãy đã cho. 3.2.2. Bài toán về tương quan địa phương của m-dãy Giả sử {ai} = a0, a1, a2, , aN-1 là một m-dãy nhị phân bậc r, có chu kỳ là: N = 2r -1. Đặt: M* = { (ai, ai+1, , ai+M-1), i = 0, 1, 2, , N-1}, M > 0,
3. 71 M 1 Wn = wt(an, an+1, , an+M-1) =  an i (3.17) i 0 là trọng số của M-tupel (an, an+1, , an+M-1), n = 0, 1, 2, , N-1, với M > r. Gọi A bằng số các M-tupels trong M* có Wn = . Ta thấy nếu M > r thì  chỉ nhận các giá trị từ 1 đến M (không nhận giá trị 0). M 1 Giả sử Sn = bn i . Khi đó rõ ràng là Sn = M - 2.Wn, và Sn nhận giá trị trong i 0 đoạn [-M, +M]. Ta cần tìm mômen của các phân bố {Wn} và {Sn}. Ký hiệu Wp, Sp là mômen bậc p của các phân bố tương ứng. Theo định nghĩa ta có: N 1 M p 1 p 1 p W N Wn N  .A n 0  1 (3.18) N 1 M p 1 p 1 p S N  Sn N (M 2) .A n 0  1 Các mômen trung tâm cấp p tương ứng xác định bởi công thức: N 1 p 1 1 p Wc N (Wn W ) ; n 0 (3.19) N 1 p 1 1 p Sc N (Sn S ) . n 0 Và hiển nhiên có: S p ( 2) p .W p . c c (3.20) p Để thuận tiện ta tính các mômen S của phân bố {Sn} tương ứng với dãy {bi}. Công thức tính mômen bậc 1. Từ (3.19) ta có:
4. 73 Tức là: bn+i.bn+ j = bn+k,  n = 0, 1, 2, , N-1. (3.24) 3 Do tính chất của m-dãy, nên số các bộ ba (i, j, k) còn lại là ( CM -B3) sẽ cho đẳng thức: {bn+i}.{bn+j} = {bn+k'}, k' [0, M-1], k' k mod N. (3.25) Cũng từ tính chất tự tương quan của m-dãy,ta có: , 푛ế ó (3.23) (∑ −1 ) = { . (3.26) 푛=0 푛+푖 푛+푗 푛+ −1, 푛ế ó (3.25) Do vậy: M 3 M 2 M 1 N 1  3    bn i .bn j .bn k  N.B3 CM B3 ( 1) . (3.27) i 0 j i 1k j 1 n 0  Từ đó ta có: M 3 N 1 3 S = N 3! N .B3 , (3.28) ở đây B3 là số các bộ ba (i, j, k), 0 i < j < k M-1, sao cho {bn+i}.{bn+j} = {bn+k}. (3.29) *) Công thức tính mômen bậc 4. Tương tự như trên ta có: S4 = N 1 M 1 1 4 N (bn i ) n 0 i 0 (3.30) 2 M (M 1) (M 2) N 1 M (3M 2) N 4! N .B4 trong đó, B4 là số các bộ bốn (i1, i2, i3, i4), 0 i1 < i2 < i3 < i4 M - 1, sao cho b . b . b  b  (3.31) n i1 n i2 n i3 n i4
5. 75 Chuyển sang ngôn ngữ của m-dãy ban đầu, hệ thức trên có nghĩa là an+i  an+j = an+k,  n = 0, 1, , N-1 an = a  a ,  n = 0, 1, , N-1, n c j n d j trong đó: 1 cj < dj M-1. c j d j Đẳng thức trên có nghĩa là đa thức g(x) = 1 + x x , 1 cj < dj M-1, là đa thức đặc trưng của dãy {ai}. r i Giả sử f(x) = 1 + ci x là đa thức đặc trưng nguyên thủy sinh dãy {ai}. Khi i 1 đó ta có f(x) là ước của g(x). Như vậy, từ một bộ ba (i, j, k) với 0 i < j < k M-1, sao cho an+i  an+j = an+k,  n = 0, 1, , N-1, ta tìm được một đa thức g(x) = 1 + x c j x d j thỏa mãn f(x) g(x), trong đó cj = k - j, dj = k - i, với 1 cj < dj M-1. Và dĩ nhiên số bộ ba (i, j, k) khác nhau cho cùng một cặp (c, d) sẽ là (M-dj) bộ. Ngược lại, ta có thể chứng minh rằng, nếu có tam thức: c j d j g(x) = 1 + x x , với 1 cj < dj M-1, sao cho f(x) g(x), thì ta sẽ tìm được cả thảy (M-dj) bộ ba (i, j, k) với 0 i < j < k M-1, sao cho: an+i  an+j = an+k,  n = 0, 1, , N-1. Vậy ta có: * B3 B3 = (M d j ), (3.34) j 1 * c j d j trong đó, B3 là số các tam thức g(x) = 1 + x x , với 1 cj < dj M-1, sao cho f(x) g(x). * Bây giờ ta sẽ nêu thuật toán đơn giản để tính B3 và dj.
6. 77 Bước 2: Lần lượt so sánh các (r-1)-tupels trong đoạn {ai}M. Nếu xảy ra đẳng thức (ac+1, ac+2, , ac+r-1)  (ad+1, ad+2, , ad+r-1). * thì tăng B3 lên một đơn vị, và tăng B3 lên (M-d) đơn vị. Tức là ta có đoạn câu lệnh For c:=1 to (M-2) do begin for d:= (c+1) to (M-1) if (ac+1, ac+2, , ac+r-1)  (ad+1, ad+2, , ad+r-1). * * then B3 := B3 + 1, B3 := B3 + (M-d). end. End. * Bước 3: In ra các giá trị B3 và B3. 3.2.6. Thuật toán tính B4 Tương tự như phần lập công thức tính B3 ta cũng có công thức để tính B4 như sau: * B4 B4 = (M d j ) . (3.36) j 1 * bj c j d j Trong đó B4 là số các đa thức g(x) = 1 x x x , với 1 bj< cj < dj M- 1, sao cho f(x) g(x). Giả sử f(x) là đa thức nguyên thủy sinh dãy {ai} như trên. Ký hiệu {ai}M = (0, 1, 1, , 1, 0, ar+2, ar+3, , ar+M-1), r-bít 1
7. 79 thể coi S1 = -M/N 0. Do đó ta sẽ có các công thức xấp xỉ cho các mômen trung tâm bậc 1, 2, 3, 4 của phân bố trọng số các đoạn con M-bit của m-dãy {ai} như trong Bảng 3.1. Bảng 3.1 Mô men trung tâm của phân bố trọng số các đoạn con Mô Dãy ngẫu nhiên lý m-dãy chu kỳ N; p p p p men tưởng; Wc Wc = Sc / (-2) bậc p 1 0 0 2 M/4 (M/4)[1-(M-1)/N] M/4 3 3 0 -(M /8N) + (3/4).[(N+1)/N].B3 (3/4)B3 4 (3M2 - 2M)/16 (3M2-2M)/16-[M(M-1)2(M+2)]/16N+ +(3/2) [(N+1)/N].B4 2 (3M -2M)/16 +(3/2)B4 Từ Bảng 3.1, so sánh các mômen trung tâm bậc 1, 2, 3, 4 của một m-dãy với các mômen trung tâm tương ứng của dãy ngẫu nhiên lý tưởng, ta thấy rằng một m- dãy có thể xem là có phân bố giá trị tương quan địa phương ngẫu nhiên đối với các đoạn độ dài M, nếu có B3 = B4 = 0 với các tham số [M, f(x)] tương ứng. Một nhận xét nữa là các mômen bậc 1, 2 (theo các công thức (3.21), (3.22)) không phụ thuộc vào các m-dãy cụ thể mà chỉ phụ thuộc vào hai tham số độ dài M của các đoạn con đang xét và chu kỳ N của m-dãy. Các m-dãy cùng chu kỳ chỉ phân biệt nhau (trên khía cạnh tương quan địa phương) khi ta xét tới các mômen bậc 3, 4 và cao hơn Điều này cũng nói lên rằng, mỗi m-dãy có tập M* khác nhau (tuy cùng lực lượng), m-dãy nào có tập M* làm cho B3 = B4 = 0, ta hy vọng rằng m-dãy đó sẽ có dáng điệu ngẫu nhiên hơn trong tập hợp các m-dãy cùng chu kỳ đang xét.
8. 81 cần thiết để lưu tập thứ tự lồng ghép này cũng trở lên khó khả thi. Với phương pháp phân rã theo bước, ta đã xác định chỉ tính một phần cần thiết của 푃 , còn phương pháp sử dụng hàm vết cũng có thể hiệu chỉnh để chỉ cần tính một phần cần thiết của 푃 . Các yêu cầu của dãy lồng ghép áp dụng trong kỹ thuật mật mã. Từ hai phương pháp phân tích dãy giả ngẫu nhiên đã đề cập trong phần 3.1 và 3.2, ta thấy rằng khi áp dụng thuật toán tổng hợp độ phức tạp tuyến tính cho đầu ra của dãy lồng ghép và phi tuyến lồng ghép, trong hầu hết các trường hợp ta đều nhận được kết luận là dãy được sinh ra bởi m-dãy thành phần có bậc m. Chỉ khi đoạn dữ liệu đem phân tích có sự tiếp nối giữa hai dãy con, khi này độ phức tạp tuyến tính được tăng lên, song không vượt quá độ phức tạp chung của dãy gốc có bậc n. Việc áp dụng bài toán tương quan địa phương cũng đưa ra kết quả tương tự. Như vậy để có thể áp dụng dãy lồng ghép trong kỹ thuật mật mã để bảo mật thông tin, ta cần thiết kế bộ tạo dãy sao cho bậc của dãy con thành phần đã thỏa mãn các yêu cầu về bảo mật. Đây cũng là lý do tác giả luận án không tiếp tục phát triển hướng nghiên cứu về dãy lồng ghép đa cấp, do dãy con thành phần ở mức sau cùng của dãy lồng ghép đa cấp có bậc rất nhỏ so với bậc của dãy gốc, làm suy giảm tính an toàn về mật mã của dãy đầu ra. Với các yêu cầu của kỹ thuật mật mã đã trình bày trong phần 1.2.2, ta thấy rằng yêu cầu phổ biến với các m-dãy thành phần là độ lớn bậc n ≥ 128. Vì m là ước của n nên: m ≤ n/2. (3.38) Do giá trị bước lồng ghép được tính là: 퐿 푛−1 = = . (3.39) −1 Với m, n đủ lớn ta có thể lấy xấp xỉ: T pn-m. (3.40) Để thỏa mãn điều kiện n ≥ 128 như đã nêu ta cần có:
9. 83 Nếu biểu diễn T theo cơ số p, biễu diễn của T cũng chỉ có l số 1, chen giữa các số 1 là m-1 số 0: T = 100 00100 00100 001p . (3.47) Ta sẽ tìm cách tính nhanh giá trị đa thức 푈 ( ) = . (3.48) ( ) Ta có: U1(d) = d , (3.49) 푄 푈 ( ) = , (3.50) 푄 ( ) ∏푄 푈 ( ) 푗=1 푄 −1 푈 ( ) = , (3.51) 푄 ( ) 푙−1 푈 ( ) = ∏ =0 푈푄 ( ). (3.52) Vì Q = pm có thể lên tới hàng tỷ hoặc thậm chí cao hơn khi bậc của đa thức ban đầu tăng lên, ta cần có phương pháp hiệu quả để tính được các công thức (3.50), (3.52). Để tính UQ(d) ta sẽ tính lần lượt từng bước như sau. Trước hết tính trực tiếp đa thức: 푈 ( ) = . (3.53) ( ) Chú ý rằng: −1 −1 = × = ( ) . (3.54) Nên ta có: 푈 ( ) = (푈 −1( )) . (3.55) Ta có thể tính 푈 ( ) theo công thức sau:
10. 85 * * U = U x Vtmp 2 ( ) = 푡 푡 ( ) * Sau r bước ta có 푈 ( ) = U . Lưu đồ thuật toán tính 푈 ( ) được thể hiện trong hình 3.2. Bằng phương pháp tương tự ta tính được đa thức kết quả của công thức (3.52) như sau: * Đặt U = 1 và Vtmp = 푈 푖−1푄 −1( ) Với i chạy từ 0 tới r, ta lần lượt tính Nếu pi = 1 * * U = U x Vtmp 2 ( ) = 푡 푡 ( ) * Sau r bước ta có 푈 푖푄 −1( ) = U
11. 87 Với thuật toán tiền xử lý nêu trên, ta tìm ra được giá trị m phần tử đầu tiên của cột thứ nhất trong ma trận lồng ghép (là m bit số 0 trong m bộ trạng thái). Từ các giá trị này ta có thể xây dựng phần đầu tiên của dãy lồng ghép bằng dãy con đầu tiên. Để tiếp tục xây dựng các phần tiếp theo của dãy lồng ghép, ta tìm giá thứ tự lồng ghép tiếp sau đó bằng cách sử dụng từng trạng thái trong S(kT) để xác định các trạng thái trong S(kT+1) qua công thức sinh m-dãy, từ đó có được giá trị khởi đầu của cột n+1. Như vậy ta có thể xây dựng dãy lồng ghép có độ dài bất kỳ mà không cần tính trước toàn bộ bảng thứ tự lồng ghép. Để sinh dãy phi tuyến lồng ghép, ta áp dụng các bước tương tự như với dãy lồng ghép đối với dãy đầu vào thứ nhất, song riêng việc sinh ra giá trị các cột lại sử dụng dãy con từ dãy đầu vào thứ hai. 3.3.3 Đánh giá độ phức tạp của thuật toán sinh dãy giả ngẫu nhiên phi tuyến lồng ghép với bậc lớn n Để tính được 푈푄( ) ta cần (m-1).(p-1) phép nhân đa thức trên trường GF(p ) để tính công thức (3.41). Trong trường hợp tính bằng phương pháp bình phương và nhân, số phép nhân cần tính là (m-1).log2p (Giả sử thời gian tính phép bình phương và phép nhân đa thức là tương đương nhau) Để tính được 푈푄 ( ) từ 푈푄 −1( ) ta cần tính các phép nhân đa thức trên trường GF(pn). Xét trường hợp sử dụng phương pháp bình phương và nhân thay cho (19) và (21) thì số phép nhân đa thức là: vmulq = (m-1).log2p . (3.60) Để tính được 푈 ( ) theo (3.36) ta cần sử dụng thêm (l-1) phép nhân đa thức. Tổng số phép nhân đa thức trên trường GF(pn) cần tính là: vq = (l-1).(m-1).log2p + (l-1). (3.61)
12. 89 Bảng 3.2 Số bước tính toán tiền xử lý cho dãy lồng ghép STT p n m vmulq nbit1-q vq T vmul2 nbit1-2 v2 1 2 24 8 17 3 20 65 793 17 3 20 2 3 24 8 32 3 35 43 053 283 26 12 38 3 24 8 48 3 33 232 936 334 7 51 403 45 24 69 4 7 28 14 42 2 44 678 223 072 850 40 23 63 5 13 12 3 36 4 40 10 609 328 380 34 17 51 6 13 18 9 36 2 38 10 604 499 374 34 17 51 7 29 12 3 45 4 49 14 507 740 823 580 44 19 63 8 31 12 3 45 4 49 26 440 509 694 144 45 12 57 So sánh 2 bảng trên, ta thấy phương pháp tính toán với cơ số p có hiệu quả tốt hơn phương pháp tính toán bình phương và nhân trực tiếp . Với cơ số p = 2, hai phương pháp có số bước giống nhau do cùng là tính toán trên cơ số 2. Với cơ số p = 3 là một giá trị rất nhỏ, phương pháp tính toán với cơ số p chỉ giúp tăng một phần nhỏ hiệu quả so với phương pháp tính toán bình phương và nhân trực tiếp. Trong trường hợp cơ số p có giá trị lớn, phương pháp tính toán trên cơ số p có hiệu quả tốt hơn hẳn so với phương pháp tính toán bình phương và nhân trực tiếp, cụ thể là số bước tính toán ít hơn khoảng 25% .
13. 91 t .pq * t .p t .q * t C() = 0 1 2 3 . (3.66) 2k.pq ở đây ti, i=0 3, là chỉ số trùng giữa các pha thứ 0 và thứ  của dãy, p là chu kỳ của dãy U, q* là chu kỳ của dãy con của dãy phi tuyến lồng ghép Tính chất 2: (lực lượng của bộ tạo dãy ) So với dãy luân phiên, bộ tạo dãy luân phiên phi tuyến lồng ghép có thêm tham số đầu vào m và m-dãy thứ hai để xây dựng lên dãy phi tuyến lồng ghép. Vì thế lực lượng của bộ tạo dãy luân phiên phi tuyến lồng ghép trở thành: L 2 M 2k 1 k  2 1  2 1 Kw = M.2 . . (3.67) L M 2 Lực lượng các bộ tạo dãy trở lên lớn hơn rất nhiều so với bộ tạo dãy luân phiên ban đầu. Các tính chất còn lại : Phân bố tần số các bộ r-tupe, tính chất tương quan được giữ nguyên như đối với dãy luân phiên, do dãy phi tuyến lồng ghép giữ được các tính chất đó từ m-dãy tương ứng. 3.5 Kết luận chương 3 Trong chương này tác giả đã đề xuất một thuật toán mới, có thể coi là một phương pháp mới để sinh dãy phi tuyến lồng ghép với bậc lớn. Việc đánh giá độ phức tạp tính toán cho thấy thuật toán này có độ phức tạp tính toán ở mức hàm mũ, chính xác là cỡ (n3) so với bậc n của đa thức sinh m-dãy. Bằng cách khai thác một đặc điểm của tham số của dãy lồng ghép, thuật toán này có lợi thế lớn hơn thuật toán bình phương và nhân thông thường. Thuật toán này giúp cho việc sinh dãy phi tuyến lồng ghép trở lên hiệu quả trong thực hành khi bậc của dãy lớn lên theo các yêu cầu trong kỹ thuật mật mã. Qua phân tích một số phép tấn công phân tích mã đối với dãy giả ngẫu nhiên dựa trên m-dãy, tác giả đã đề xuất bộ tạo dãy luân phiên phi tuyến lồng ghép là kết quả việc ứng dụng dãy phi tuyến lồng ghép vào bộ tạo dãy luân phiên, từ đó đạt được các tính chất mật mã tốt có thể áp dụng trong thực tế.
14. 93 Các vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Việc đề xuất một thuật toán mật mã mới cần phải xem xét rất kỹ về tính an toàn của thuật toán trên nhiều khía cạnh trước khi có thể đưa vào sử dụng thực tế, cần có các nghiên cứu sâu về việc phân tích mã đối với dãy lồng ghép và phi tuyến lồng ghép, cũng như dãy luân phiên phi tuyến lồng ghép Một công việc khác cần tiếp tục nghiên cứu là giải pháp để cài đặt hiệu quả các dãy trên GF(pn) với số p nguyên tố lớn (p>2) trên cả hai môi trường: phần mềm máy tính và các thiết bị xử lý trực tiếp bằng phần cứng. Ta cũng cần nghiên cứu về việc sử dụng hiệu quả dãy đầu ra trên GF(pn), có thể là một phương pháp chuyển đổi dữ liệu giữa hệ q-phân và hệ nhị phân.
15. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt 1) Bùi Lai An, "Về một cấu trúc tổng quát của mã tựa ngẫu nhiên phi tuyến đa cấp – đa chiều theo kiểu lồng ghép", Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Học viện CN BCVT, 2012. 2) T. V. Trường và L. Đ. Tân, "Nghiên cứu về m-dãy trong các bộ tạo dãy giả ngẫu nhiên", Tạp chí Nghiên cứu KHKT&CN quân sự, Trung tâm KHKT&CN quân sự, Bộ Quốc phòng, số 6, 2004, trang 61-66. 3) T. V. Trường, "Một số tính chất địa phương của m-dãy", Tạp chí KHKTMM - Ban Cơ yếu Chính phủ, số 2 -1993, trang 31-33. Tài liệu tiếng Anh 4) M. Antweiler, “Cross-correlation of p-ary GMW sequences”, IEEE Trans Inform. Theory, vol 40, pp. 1253-1261, 1994. 5) L.D. Baumert, Cyclic Difference Sets, ser. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1971. 6) E.R. Berlekamp, “Algebric Coding Theory”, New York, McGraw-Hill, 1968. 7) S. Boztas and P. V. Kumar: Binary Sequences with Gold-Like Correlation but Lager Linear Span. IEEE Transaction on Information Theory, Vol 40, No.2, March-1994, pp 532-537. 8) G. Cattaneo, G. De Maio, and U. F. Petrillo. “Security issues and attacks on the GSM standard: a review”. Journal of Universal Computer Science, vol. 19, no. 16, pp. 2437–2452, 2013. 9) S.D Cardell, A. Fúster-Sabater and V. Requena, “Interleaving Shifted Versions of a PN-Sequence”, Mathematics 9(687), 2021. 10) A. Chang, P. Gaal, S.W. Golomb, G. Gong, “On a conjectured ideal autocorrelation sequence and a related triple-error correcting cyclic code, IEEE Trans Inform. Theory, vol. 46 no. 2 , pp. 680-687, 2000. 11) C. Ding, T. Helleseth and K.Y. Lam, “Several classes of binary sequences with three-level autocorrelation”, IEEE Trans Inform. Theory, vol. 45 no. 7, pp. 2606-2612, 1999. 12) R.G. Gallager, Galois Field, MIT, 1992.
16. 27) C. G. Günther: "Alternating Step Generators controlled by de Brujin Sequeces", EUROCRYPT'- 87, pp 5-14, 1987. 28) H. Han, S. Zhang, L. Zhou and X Liu, " Decimated m-sequences families with optimal partial Hamming correlation ", Cryptography and Communications 12, pp 405-413, 2020 29) S. Hara an R. Prasad, "Overview of multicarrier CDMA", IEEE Commun. Mag. Vol. 35, pp. 126-133, 1997. 30) L.M. Hieu & L.C. Quynh, "Design and Analysis of Sequences with Interleaved Structure by d-Transform," IETE Journal of Research, vol. 51, no. l, pp.61-67, Jan-Feb. 2005. 31) J. He, “Interleaved Sequences Over Finite Fields”, Doctor thesis, Carleton University, Ottawa, Canada 2013. 32) S. Jianga , Z. Daia , G. Gong, "On interleaved sequences over finite fields", Discrete Mathematics 252, 2002, pp 161-175. 33) S. Jianga , Z. Daia , G. Gong, "Notes on q-ary Interleaved Sequences", Chinese Science Bulletin volume 45, 2002, pp 502-507. 34) Kaur, M., Gianey, H.K., Singh, D.; Sabharwal, “Multi-objective differential evolution based random forest for e-health applications”. Mod. Phys. Lett. B 33(05), 1950022, 2019. 35) E. L. Key, “An Analysic of the Structure and Complexity of Nonlinear Binary Sequence Generators”. IEEE Trans. Inform. Theory, Vol IT-22, No-6, November 1976, pp 732-736. 36) A. Klein, "Linear Feedback Shift Registers", Stream Ciphers, pp 17-58, Springer, 2013. 37) A.M. Kondoz, “Digital Speech”, 2nd Edition, Wiley, 2004. 38) A. Klapper; A.H. Chan; M. Goresky, “Cascaded GMW sequences”, IEEE Trans, Inform. Theory ,Vol.39, no 1, pp. 177 - 183, 1993. 39) X.D. Lin and K.H. Chang: "Optimal PN sequences design for quasisynchronous CDMA communication systems", IEEE Trans. Comm.vol 45. pp 221-226. Feb 1997. 40) R. Lidl & H. Niedemeiter, Introduction to finite field and their application, Cambridge University press 2000.
17. 55) N.V. Son, et. al, "FPGA Implemen-tation of Optimal PN-Sequences by Time-Multiplexing Technique", International Conference on Engineering Research and Applications (ICERA), 2019. 56) Son N.V, Dinh D.X and Quynh L.C, “Some new insights into design and analysis of sequences of interleaved structure”, Journal of Xidian University, Volume 14, Issue 12, 2020. 57) X. H. Tang and F. Z. Fan, "A class of PN sequences over GF (P) with low correlation zone", IEEE Trans. Inform. Theory, vol.41, no.4, pp. 1644-1649, May 2001. 58) X. H. Tang and F. Z. Fan, "Large families of Generalized d-form sequences with Low correlation and Large linear span Based on the Interleaved technique", 2003. 59) K. Tsuchiya, Y. Nogami and S. Uehara, "Interleaved sequences of geometric sequences binarized with Legendre symbol of two types", IEICE Trans. Fundamential of Electronics, Communication and Computing Science, 2017 60) Truong D.V, Binh N.T, Hieu L.M and Quynh L.C, “Construction of Nonlinear q-ary m-sequences with Interleaved Structure by d-Transform”, IEEE ICCE 2018, pp.389-392, 2018. 61) B. Walke, S. Seidenberg, M. P. Althoft. "UTMS: The fundamental", John Wiley, 2003. 62) Nam Yul Yu, “On Periodic Correlation of Binary Sequences”, Doctor thesis, University of Waterloo, Canada, 2005. Trang Web 63) Stephen Wolfram, Solomon Golomb (1932–2016) 64) TOP 500 Super computer